schapen

Is wiskunde ontdekt of bedacht? Plato zou zeggen: ontdekt. Stephen Wolfram zegt: bedacht. Wolfram, de man achter Wolfram Alpha, Mathematica en nog veel meer, lichtte dit onlangs toe in een interview. Volgens hem zijn er allerlei verschillende soorten wiskunde mogelijk, afhankelijk van de basis die je kiest. Die van ons zou ongeveer de 50.000ste van al die mogelijkheden zijn. Maar zouden al die andere mogelijkheden het er wel zo goed vanaf brengen als de onze? Want hoewel wiskunde misschien bedacht is, is die wel bedacht met een reden: om de wereld om ons heen te kunnen beschrijven.

Stelt u zich de volgende situatie voor: duizenden jaren geleden begonnen mensen hun eerste vee te houden. Herders hadden een manier nodig om te controleren of al hun schapen er nog waren. En dus telden ze op hun vingers hoeveel schapen ze zagen.  Of misschien krasten ze streepjes in het zand, of legden ze stokjes neer. Later bleek het handig om dat abstracter te maken, en bedachten ze woorden en symbolen: 1, 2, 3, enzovoorts.

Toen de mensen vervolgens hun eigen afgebakende stukken land gingen onderhouden, moesten ze die stukken kunnen beschrijven. Ze bedachten een woord voor een stuk met drie hoekpunten en rechte zijkanten: een driehoek. Vervolgens gingen ze de ontwikkelde getallen en vormen verder onderzoeken. Ze ontdekten hoe ze handig konden rekenen met de zijden van een driehoekig stuk land: de stelling van Pythagoras.

We weten natuurlijk niet zeker of het echt zo gegaan is. Maar het illustreert hoe je op natuurlijke wijze iets kunt construeren en daar vervolgens dingen over kunt ontdekken. Want hoewel de getallen en vormen een abstracte constructie zijn, en dus bedacht, zijn ze een beschrijving van de natuur, en dus in zekere zin ontdekt. Ingegeven door de toepassingen zoals schapen tellen en landoppervlak meten, lijken er weinig mogelijke alternatieven die de wereld echt goed kunnen beschrijven.

Keuzes, keuzes

Toch claimt Wolfram in het interview dat er allerlei alternatieven zijn, en dat al die alternatieven allemaal prima zouden functioneren. Volgens Wolfram is de wiskunde simpelweg het gevolg van de keuzes die je maakt in de basisprincipes, en die kunnen verschillen.

Laten we eens een voorbeeld bekijken van zulke keuzes. Euclides koos het volgende als basisprincipe om de meetkunde te beschrijven: gegeven twee punten kun je altijd een lijn tekenen tussen die twee punten. Volgens Wolfram had een ander basisprincipe tot heel andere wiskunde kunnen leiden. Maar Euclides koos juist deze omdat die de wereld goed leek te beschrijven: in de wereld om zich heen zag hij dat dit principe steeds gold.

Hetzelfde geldt voor Euclides’ beroemde vijfde principe: dat er gegeven een lijn en een punt naast die lijn altijd precies een parallelle lijn door dat punt te tekenen is. Dit principe leek goed te beschrijven wat Euclides observeerde. Later bleek dat er ook andere meetkundes mogelijk zijn waarin dit principe niet geldt, bijvoorbeeld hyperbolische meetkunde waarin er juist heel veel parallelle lijnen zijn. Euclidische meetkunde blijkt uitermate geschikt voor het platte vlak, terwijl hyperbolische meetkunde zeer nuttig bleek voor het beschrijven van het heelal, bijvoorbeeld in Einsteins relativiteitstheorie.

Kortom: Wolfram heeft gelijk. Maar hij is niet erg praktisch ingesteld. De vijfde aanname van Euclides kon inderdaad anders, en dat leverde een andere meetkunde op.  Die meetkunde functioneerde op zich ook prima, maar was niet erg toepasbaar in onze dagelijkse, zichtbare wereld. Op dezelfde manier is onze  gehele wiskunde bedoeld om op onze wereld toegepast te worden. In die zin is het de beste van alle mogelijke alternatieven. Want wie andere aannames kiest, kiest voor een andere wereld.