Margin

In de 17e eeuw schreef ­­wiskundige Pierre de Fermat een stelling in de kantlijn van een boek, met daarbij de woorden: ‘ik heb een prachtig bewijs, maar het past niet in de kantlijn’. De stelling werd bekend als ‘de laatste stelling van Fermat, en werd pas 350 jaar later door Andrew Wiles bewezen. Dat bewijs had zeker niet in die kantlijn gepast: Wiles had er ruim honderd pagina’s voor nodig, en een hele lading moderne wiskunde waarvan Fermat niet op de hoogte kan zijn geweest. Dit complexe bewijs was een doorn in het oog van logicus Colin McLarty. Hij stelt in een recent verschenen artikel dat het arsenaal aan moderne wiskunde dat Wiles gebruikte niet noodzakelijk is voor het bewijs, en dat het een stuk simpeler kan.

Wiskundigen hebben vaak een zwak voor de elegantie van een stelling en haar bewijs. Robbert Dijkgraaf schreef ooit dat een goede stelling op een t-shirt moet passen: hij moet kort en krachtig zijn. De stelling van Fermat past inderdaad gemakkelijk op een t-shirt: ‘de vergelijking x^n+y^n=z^n heeft geen gehele getallen als oplossing wanneer n groter is dan 2 en x, y en z niet gelijk zijn aan 0’. Het bewijs van Wiles was met ruim honderd pagina’s en vergaande wiskundige constructies echter allesbehalve kort en krachtig. Dan rijst de vraag: als het bewijs echt zo ingewikkeld is als Wiles het presenteerde, is het dan nog wel geloofwaardig dat Fermat dat bewijs überhaupt had?

McLarty betoogt daarentegen dat we juist het bewijs van Wiles nog eens onder de loep zouden moeten nemen. Omdat Wiles voortbouwt op resultaten van andere wiskundigen, maakt hij impliciet gebruik van aannames die hij volgens McLarty niet echt nodig heeft. Een van die aannames is een sterkere variant van het keuze-axioma, een beruchte naam in de wiskunde. Ook dit axioma had zo op een t-shirt gepast: het stelt dat je voor een collectie niet-overlappende verzamelingen altijd een verzameling kan construeren die precies één ding uit elk van die verzamelingen bevat. Die verzamelingen kunnen van alles zijn, bijvoorbeeld de pakken rijst, pasta en couscous die in mijn keukenkastje staan. U bent het vast met mij eens dat als ik uit elk pak één spaghettigstengel of rijst- of couscouskorrel pak, dat ik dan een collectie heb met precies één ding uit ieder pak.

Maar het wordt ingewikkeld als we het gaan hebben over meer abstracte verzamelingen. Bijvoorbeeld een oneindige verzameling rijstkorrels. Nu zegt u misschien: je kunt toch gewoon de eerste de beste rijstkorrel pakken van zo’n oneindige verzameling? Klopt. Maar wiskundigen maken het nog gekker: er zijn ook verzamelingen die niet te indexeren zijn. Er is dan geen ‘eerste’ rijstkorrel. Het keuze-axioma is daarom een omstreden aanname: we weten niet zeker of het wel altijd geldt.

McLarty stelt nu dat zulke moderniteiten niet nodig zijn voor het bewijs van de laatste stelling van Fermat. Op basis van elementaire getalsideeën die ook in Fermats tijd bekend waren, zou een veel simpeler bewijs mogelijk moeten zijn, zegt McLarty, die momenteel onderzoekt welke basis zo’n bewijs nodig zou hebben. Als een simpeler bewijs mogelijk is, zou dat betekenen dat wiskundigen dit eeuwenlang over het hoofd hebben gezien. En het zou ook betekenen dat Fermat er misschien wel van op de hoogte was. Dat hij niet zomaar zat op te scheppen, maar daadwerkelijk een bewijs had, dat écht niet in de kantlijn paste.

Noot: de foto bij dit artikel is natuurlijk niet Fermat’s notitie in de kantlijn, maar een andere opmerkelijke notitie die door iemand in een gebruikt boek werd aangetroffen.