Toen Thomas Hales in 1998 het vermoeden van Kepler bewees, zei een sinaasappelverkoper daarover op televisie: ‘dit is een verspilling van tijd en belastinggeld’. Het vermoeden van Kepler, geformuleerd in 1611, gaat over het stapelen van sinaasappels. De meest efficiënte manier om dat te doen, is precies de manier waarop men het altijd al deed: in een soort piramidevorm. En zo deed de sinaasappelverkoper dat natuurlijk allang. Jaren later bleek deze stelling echter ook nog een belangrijke toepassing te hebben bij modems.

Zo komt een ongepland aspect van fundamenteel onderzoek naar voren. Fundamenteel onderzoek is niet alleen belangrijk omdat het begrip van het vakgebied geeft, maar ook omdat een resultaat soms jaren later ineens onverwacht een belangrijke toepassing kan te hebben. En dat vormt een prachtig argument tegen het heersende beeld in de politiek: namelijk dat er alleen wetenschappelijk onderzoek gedaan zou moeten worden dat (vooraf) aantoonbaar maatschappelijk relevant of zelfs winstgevend is.

Een bekend voorbeeld is de wiskundige Hardy, die koste wat het kost iets abstracts en ontoepasbaars wilde doen. Daarom werkte hij aan priemgetallen. Iets ontoepasbaars doen is hem echter niet gelukt, want later werden juist priemgetallen toegepast in het coderen van geheime boodschappen, zoals militaire berichten maar ook e-mails en pintransacties. In een poging ook onbekendere verhalen te verzamelen van abstracte onderzoeken met een onverwachte toepassing, riep Nature wiskundigen op om voorbeelden in te zenden. Deze maand leverde dat een mooi artikel op met een reeks zeer uiteenlopende voorbeelden. Waaronder sinaasappels en modems.

Sinaasappels

Dus wat hebben sinaasappels precies met modems te maken? Meer dan je in eerste instantie zou denken. Om sinaasappels goed te stapelen, draait het in de eerste plaats om de vraag hoeveel sinaasappels maximaal tegen één sinaasappel aan kunnen liggen, in het Engels ook wel the kissing problem genoemd. Stel je een sinaasappel voor midden in een stijf ingepakt sinaasappelkistje. Hoeveel sinaasappels kussen dan die ene middelste sinaasappel? Newton dacht dat dit er maximaal 12 konden zijn. Hij kon het echter niet bewijzen. Daarom keek men eerst naar een vereenvoudigde versie van hetzelfde probleem: cirkels op papier. Hoeveel cirkels van gelijke grootte kunnen raken aan één cirkel middenin, zonder elkaar te overlappen? Maximaal 6, blijkt vrij eenvoudig te bewijzen.

In 1953 bewezen Kurt Schütte en Bartel van der Waerden dat het aantal sinaasappels dat tegen 1 sinaasappel aan kan liggen inderdaad maximaal 12 is. Maar daarbij liet men het niet: zoals wiskundigen wel vaker doen werd de toepassing vergeten, en abstraheerde men naar hogere dimensies. In 4 dimensies kunnen maximaal 24 bollen elkaar raken, in 5 dimensies weet men alleen dat het aantal tussen 40 en 44 ligt. En voor 8 dimensies is het antwoord 240.

Modems

Het efficiënt verzenden van informatie over een modem blijkt erg te lijken op het op elkaar stapelen van bollen. Alleen gaat het dan om 8-dimensionale bollen. Wanneer een modem een signaal verstuurt, bestaat dat namelijk uit een reeks van 8 cijfers. En zoals je een tweetal cijfers (x,y) kunt tekenen als een punt in een tweedimensionaal assenstelsel, kun je ook een achttal cijfers ‘tekenen’ als punt in een achtdimensionaal assenstelsel. Omdat elk van de 8 cijfers als waarde maximaal 1 kan aannemen, bakent de achtdimensionale bol met straal 1 precies het gebied af waarin dit punt zich kan bevinden.

Wanneer een modem informatie verstuurt, bestaat dat dus uit signalen van elk een reeks van 8 cijfers. Oftewel: achtdimensionale bollen. Om de informatie zo efficiënt mogelijk te versturen, moeten die signalen efficiënt tegen elkaar aangelegd worden. En dan zijn het eigenlijk net sinaasappels.