collatz_conjecture_klein

“Neem de laatste twee cijfers van je geboortejaar. Tel daarbij op hoe oud je dit jaar wordt, en er komt altijd 111 uit. Voor iedereen!” Dit stond in een doorstuurmail die ik recent in mijn inbox vond, met de mededeling dat 2011 een bijzonder jaar is. Meestal maken wiskundigen zich niet al te druk over dit soort rekensommetjes die altijd op hetzelfde getal uitkomen, de verklaring is vaak na even logisch nadenken wel te vinden (zie onder).

Het vermoeden van Collatz is echter zo’n sommetje waar wiskundigen zich wel druk over maken. Welk positief geheel getal je ook neemt, na het toepassen van twee vaste rekenregels kom je altijd op 1 uit, zegt het vermoeden. Ruim 70 jaar lang is niemand in staat geweest dit te bewijzen of te weerleggen. Maar in het weekend van hemelvaart kondigde een Duitse wiskundige ineens aan dat hij een bewijs had.

Neem een willekeurig positief geheel getal. Is het even? Deel het door 2. Is het oneven? Vermenigvuldig met 3 en tel er 1 bij op. Blijf deze stappen voor even en oneven herhalen. Neem bijvoorbeeld 84: dit geeft achtereenvolgens 42, 21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Het vermoeden van Collatz zegt dat met deze twee rekenregels elk willekeurig positief geheel getal uiteindelijk op 1 zal uitkomen. Lothar Collatz formuleerde dit vermoeden al in 1937. Of het recente bewijs hiervan correct is, wordt momenteel nog gecontroleerd.

Waarom maken wiskundigen zich druk om zulke rekensommetjes? Omdat ze willen doorgronden hoe getallen werken. Als het vermoeden van Collatz inderdaad juist is, betekent dat dat getallen een eigenschap hebben die er voor zorgt dat ze altijd aan deze twee rekenregels voldoen. Die eigenschap geldt dan voor alle natuurlijke (positieve, gehele) getallen. En daar houden wiskundigen van: als iets altijd geldt, dan is het dus fundamenteel voor het concept ‘natuurlijk getal’.

Illustratie van xkcd.com

De berekening met geboortejaar en leeftijd leert ons daarentegen weinig nieuws over getallen, en impliceert zeker niet dat 2011 een bijzonder jaar is. Het volgt automatisch uit het concept ‘leeftijd’. Ga maar na: neem je hele geboortejaar in plaats van alleen de laatste twee cijfers. Tel daarbij op hoe oud je dit jaar zult worden. Er zal dan altijd precies het jaar uitkomen waarin je nu leeft. Neem in plaats van je hele geboortejaar alleen de laatste twee cijfers, en er zal voor iedereen die voor 2000 geboren is 111 uit komen.

Bijzonder aan het vermoeden van Collatz is dat het al ruim 70 jaar oud is. Dat betekent dat er al 70 jaar lang mensen bezig zijn om met getallenvoorbeelden te testen of er inderdaad altijd 1 uit komt. Met de komst van computers werd het natuurlijk helemaal makkelijk om veel getallen uit te proberen. In al die jaren is er echter nog nooit een getal gevonden dat er niet aan voldoet. Dat is nog geen bewijs, en al helemaal niet voldoende om te begrijpen welke fundamentele eigenschap er achter zit. We zullen moeten afwachten of het bewijs van de Duitse wiskundige inderdaad correct is. Tot die tijd zou ik zeggen: probeer zelf nog eens een aantal getallen uit. Komt de berekening een keer niet uit op 1? Controleer het eerst nog twee keer en stuur dan meteen een e-mail naar de krant.

Update: inmiddels is gebleken dat het betreffende bewijs voor het vermoeden van Collatz niet correct is. Lees bijvoorbeeld op deze blog wat er mis mee is.