Afgelopen vrijdagavond kwam ik thuis met een stapel gekleurde vouwblaadjes in mijn tas. Waar was ik geweest? Op de Nationale Wiskunde Dagen, een conferentie voor wiskundeleraren. De openingslezing werd gegeven door Philippe Cara, over wiskunde en origami. Hij vertelde ons dat je voor elke vorm die je wilt vouwen het juiste vouwpatroon kunt vinden met behulp van wiskunde. En dan niet alleen voor hobby-doeleinden.

Zoals Philippe Cara het zelf stelde: origami is een leuke en goedkope hobby, met weinig risico’s voor de gezondheid. Maar denk ook eens aan de airbag in een auto, die zo gevouwen moet worden dat het een heel klein pakketje wordt, maar dat het zich ook in enkele milliseconde kan ontvouwen en vullen met lucht. Hetzelfde geldt voor een parachute.

Om een airbags, parachutes of kraanvogels te vouwen, moet je weten volgens welke patroon van vouwlijnen je moet vouwen. Bovendien is het wel zo handig als dat patroon zo min mogelijk vouwlijnen gebruikt, dat is efficiënter. De vraag is hoe je dit patroon kunt vinden.

Breuken vouwen

Om naar een iets eenvoudiger probleem te kijken nam Cara het volgende specifiekere vraagstuk: hoe kom je met alleen vouwen tot een vouwlijn die precies op een kwart van de hoogte van het vouwblaadje ligt, of op een achtste, of een willekeurige andere breuk. Mijn gele vouwblaadje heeft een vouwlijn op een kwart van de hoogte: je vouwt het eerst dubbel, en daarna vouw je de onderste helft nog eens naar die gemaakte vouwlijn. Je hebt dan de helft van de helft: een kwart.

Volgens hetzelfde patroon is een achtste ook gauw gevonden, en een zestiende, een tweeëndertigste, etcetera. Met een zaal vol wiskundigen was de conclusie gauw getrokken: alle breuken van de vorm 1 gedeeld door een macht van twee zijn te vouwen. Sterker nog, alle breuken met onder de breukstreep een macht van twee zijn te vouwen. Bijvoorbeeld 3/8. Je vouwt je papier in achtsten, en neemt daar 3 stukken van. Wel moet je daar al gauw een heleboel vouwen voor maken.

Mijn groene vouwblaadje heb ik vrijdag gevouwen in 25/32, maar dan echt niet door het eerst in 32 kleine deeltjes te vouwen. Daar is een slimmere truc  voor: door de breuk handig op te schrijven krijg je uiteindelijk een formule die je precies vertelt welke vouwen je moet maken. Ik had er vrijdag vijf (en het is niet toevallig dat 32 = 2^5) vouwen voor nodig om 25/32 te bepalen. Lees hoe deze truc precies werkt in de handout van Cara’s lezing: vanaf morgen hier te vinden.

Uitbreiden

Even terug naar de toepassingen: deze formule lost nu nog niet meteen op hoe je een airbag moet vouwen. Maar je hebt wel een algoritme dat je aan een computer kunt voeren, om te bepalen welke vouwen je nodig hebt om op een aangegeven plek een vouw te krijgen. Dat kun je vervolgens uitbreiden om veel ingewikkelde problemen op te lossen, liet Cara ons vrijdag zien. Bijvoorbeeld een eeuwenoud en onoplosbaar probleem uit de tijd van de oude Grieken: de driedeling van de hoek.

De Grieken vroegen zich af of het mogelijk was een willekeurige hoek in drie gelijke hoeken te delen met gebruik van alleen een passer en een liniaal zonder schaalverdeling erop. Pas veel later bleek dat dit onmogelijk is. Toch is op mijn blauwe vouwblaadje met een kunstige constructie een willekeurige hoek in drie gelijke stukken gedeeld. Een bewijs dat met vouwen meer mogelijk is dan met passer en ongemarkeerde liniaal.

Wiskundigen redeneren dan graag nog even verder: wat is er allemaal wel en niet mogelijk? Is het mogelijk elke willekeurige vorm uit een stuk papier te vouwen? En kun je dan met een vast algoritme altijd bepalen wat het vouwpatroon daarvoor is? In dit filmpje van TED over wiskunde en origami wordt het uitgelegd: alles is mogelijk.